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2-结构因果模型SCM

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结构因果模型SCM

一句话定位：结构因果模型（Structural Causal Model）是因果推断的三大理论框架之一，通过结构方程组描述变量间的因果机制，提供形式化执行反事实推理的工具。

前置依赖：

核心思想

SCM 的核心洞察是：因果关系应当被理解为**结构性（structural）的，而不是统计性（statistical）**的。

统计性的观点把变量看作随机变量，描述它们之间的联合分布。因果性的观点把变量看作由其他变量通过确定性函数定义的，描述它们之间的生成机制。

结构方程不是条件概率 ，而是”强行规定”：无论 取什么值， 都等于某个函数 加上独立的噪声 。这种规定在干预下不会改变——只有当我们对变量本身进行干预时，方程才会被替换。

一、形式化定义

1.1 SCM 的组成部分

一个 SCM 由以下部分组成：

  1. 变量集合 ：模型中的内生变量（endogenous variables）
  2. 结构方程集合 ：每个变量定义为其他变量的函数
  3. 噪声变量集合 ：独立的随机变量，驱动每个方程的随机性
  4. 外生变量 ：未在方程中显式建模的变量，属于 的一部分

1.2 结构方程

对于每个内生变量 ：

其中 是 的父节点集合（parent set），即直接影响 的变量。

注意这里的符号是 ”:=”（“定义为”），而不是 ""。这个符号强调这是一种结构性规定，而不是数学等式。

例：简单的因果模型

X := ε_X          （X 是外生的）
Y := 2X + ε_Y     （Y 由 X 和噪声决定）
Z := X + Y + ε_Z

对应的 DAG：

X → Y
X → Z
Y → Z

1.3 嵌套模型

SCM 可以嵌套：顶层 SCM 的外生变量可以是子 SCM 的内生变量。这允许层级化的因果表示。

二、SCM 与 DAG 的对应

2.1 因果图

每个 SCM 对应一个 DAG ：

  • 节点对应变量
  • 边 当且仅当 在结构方程 中出现（）

但注意：同一个 DAG 可能对应多个 SCM（Markov equivalence class）。

2.2 全局 Markov 假设

给定 DAG ，SCM 满足：

即每个变量与其所有非后代节点条件独立，给定其父节点。

这意味着父节点完全”解释”了变量与后代之间的依赖。

2.3 因果机制

结构方程 描述的因果机制（causal mechanism）：

或

当我们进行干预 时，对应的结构方程被替换：

  • 删去所有指向 的边（ 的父节点变为空集）
  • 用常数方程 替换原有的结构方程

这与 do-calculus 的干预定义完全一致。

三、干预与 do-演算

3.1 原子干预（Atomic Intervention）

对 进行干预 产生修改后的 SCM ：

（替换原有方程） （其他方程不变）

注意：所有其他方程中涉及 的部分， 的值现在是常数 ，而不是随机变量。

3.2 执行 do-演算

Pearl 的 do-calculus 提供了三条规则，用于在干预下简化概率表达式：

规则 1（插入/删除观测）：

如果

规则 2（行动/观测交换）：

如果

规则 3（图示化）：

如果阻断所有路径

这些规则允许我们从干预分布转换为可计算的观测分布。

四、反事实推理

4.1 单单元反事实

在 SCM 框架下，对单个单元 （对应特定的外生变量实现）执行反事实：

步骤 1（溯因）：根据观测数据 ，推断外生变量 的后验分布

对于 SCM：

给定 ，可以推出 ，。

步骤 2（修改模型）：对于反事实查询 ，将 的结构方程替换为 ，其他方程保持不变

步骤 3（前向推演）：使用更新后的 和修改后的方程，计算

4.2 形式化推导

原始 SCM ：

溯因：观测到 ，则

预测（反事实 ）：

代入 ：

这给出了反事实结果的解析表达式。

五、因果效应计算

5.1 平均因果效应

从 SCM 计算 ATE：

其中期望是对外生噪声 取的。

5.2 例子：线性 SCM

设：

则：

六、SCM 与其他框架的关系

框架核心对象处理问题
潜在结果框架（每个单元的潜在结果）观测研究中的因果效应定义与估计
SCM结构方程 + DAG因果机制、可辨识性、反事实推演
因果图（DAG）图结构 + 条件独立d-separation、可视化因果路径
  • SCM 是潜在结果框架的推广：每个单元的反事实 可以通过为每个单元设置独立的噪声实现
  • SCM 和 DAG 是等价的表示：DAG 描述图结构，SCM 描述生成机制，两者一一对应

七、与前后内容的衔接

继承：

  • 3-因果图DAG — SCM 扩展了 DAG，加入了结构方程和噪声变量

解决：提供了因果机制的形式化描述，使得我们可以精确执行反事实推理和干预计算。

引出：

  • 1-do算子 — do 算子在 SCM 框架下如何执行（原子干预）
  • 2-可辨识性 — 什么情况下 SCM 中的因果参数可以从观测数据识别
  • 3-反事实推理 — 在 SCM 框架下展开反事实推理的完整步骤

章节摘要

  • SCM 由内生变量 、结构方程 、外生噪声 组成
  • 结构方程使用 ”:=” 而非 ”=“，强调结构性规定而非条件统计
  • 每个 SCM 对应一个 DAG，但同一 DAG 可能对应多个 SCM（Markov 等价类）
  • 原子干预 ：替换 的方程为常数，删除所有指向 的边
  • do-calculus 提供三条规则，用于简化干预分布
  • 反事实推理三步：溯因（更新后验）→ 修改模型（应用干预）→ 前向推演
  • SCM 是潜在结果框架的推广，可为每个单元设置独立噪声

关键词

结构因果模型 | SCM | 结构方程 | do-calculus | 原子干预 | 反事实推理 | 因果机制 | Markov 等价类

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