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3-因果图DAG

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因果图DAG

一句话定位：有向无环图（DAG）是因果图模型的核心表示工具，通过图结构编码变量间的条件独立关系，d-separation 提供了读取这些关系的图形化判定准则。

前置依赖：

核心思想

DAG 提供了一种将因果关系可视化和形式化的方法。在 DAG 中：

  • 节点代表变量
  • 有向边 代表” 是 的直接原因”（direct cause）
  • 路径是一系列通过边连接的节点序列
  • 无环约束确保没有反馈循环——这是”结构”而非”动态”的表示

DAG 的核心价值在于：它将变量间的条件独立关系编码为图的结构特征，通过 d-separation 可以读取这些关系，而这些独立关系正是因果推断所需的关键信息。

一、DAG 基础

1.1 定义

DAG 由以下部分组成：

  • 节点集合 ：随机变量
  • 边集合 ：有序对 表示从 到 的有向边

无环性：不存在有向环。如果存在路径 ，则图有环。

1.2 关键概念

父节点（Parent）：

子节点（Child）：

祖先节点（Ancestor）： 包含 自身以及所有可通过有向路径到达 的节点

后代节点（Descendant）： 包含 自身以及所有从 可达的有向路径终点

入度/出度：进入/离开节点的边的数量

二、路径类型与阻断

2.1 因果路径

因果路径 ：通过有向边按因果方向连接的路径。

2.2 非因果路径（后门路径）

后门路径 ：从 开始，通过一条指向 的边（）进入，然后通过另一条边离开。这类路径代表混杂。

形式化： 形式的路径称为”后门路径”。

2.3 对撞（Collider）

对撞结构 ： 是 和 的共同效果（common effect）。

关键性质：在未观测到 时， 和 在后门路径上通过对撞结构形成条件独立关系：

当未被观测

但一旦观测到 （或 的任何后代），这条路径被打开， 和 相关：

这叫”对撞打开”（collider opened）。

2.4 路径阻断定义

一条路径被阻断（blocked）当且仅当：

  1. 路径上的某个节点是对撞结构中的节点，且该节点及其后代都未被观测；或
  2. 路径上的某个非对撞节点被观测

三、d-separation

3.1 定义

d-separation（directed separation）：在给定集合 时，节点集合 和 是 d-分离的，记作 ，当且仅当 阻断了 和 之间的所有路径。

3.2 判定规则

d-separation 可以通过以下图形化规则判定：

规则 1：如果存在一条路径，路径上的每个中间节点都是对撞结构，且该节点及其后代都未被 覆盖，则该路径被阻断。

规则 2：如果路径上的某个非对撞节点在 中，则该路径被阻断。

规则 3：如果上述规则都不能阻断路径，则 和 在给定 时 d-连通（d-connected）。

3.3 全局 Markov 假设

在 DAG 下，全局 Markov 假设表述为：

即每个变量与其所有非后代节点条件独立，给定其父节点。

这意味着从 d-separation 可以读出条件独立关系。

四、马尔可夫等价类

4.1 定义

不同的 SCM 可能产生相同的条件独立关系，因此对应相同的 DAG skeleton + d-separation 结构。这些 DAG 形成一个马尔可夫等价类（Markov Equivalence Class，MEC）。

4.2 等价类判定

两个 DAG 等价当且仅当它们：

  1. 有相同的 skeleton（相同的无向边）
  2. 有相同的 v-structures（相同的无对撞结构的方向）

4.3 CPDAG（ Completed Partial DAG）

CPDAG 是表示 MEC 的标准形式：

  • 无双亲的无向边表示方向在等价类中未定
  • 有向边表示在所有等价 DAG 中方向一致

因果发现算法（如 PC 算法）的输出通常是一个 CPDAG。

五、有向分离与条件独立

5.1 定理：d-separation 条件独立

在满足全局 Markov 假设的分布 中：

且由 d-separation 导出的所有条件独立关系，构成了分布 的一个子集。

5.2 例子

例 1：

路径被 阻断（ 是非对撞节点且被观测），所以 ，即 。

例 2：

是对撞节点。未观测 时，，即 （ 和 边缘独立）。但观测到 后， 不成立， 和 相关。

例 3：，

路径 中， 是对撞节点。路径 被 阻断（ 在 中）——等等，这里不对。设 是观测节点，路径 中 是对撞节点，但因为 被观测，对撞被打开， 和 相关。

六、DAG 与 SCM 的关系

DAG 描述图结构，SCM 提供生成机制，两者关系如下：

  • 每个 SCM 对应一个 DAG（DAG 中边对应方程中的父变量）
  • 一个 DAG 可以对应多个 SCM（不同的结构方程，相同的条件独立结构）
  • 通过 do-calculus，可以从 DAG/SCM 计算干预分布

七、与前后内容的衔接

继承：

解决：建立了 d-separation 与条件独立之间的对应关系，使得图论工具可以直接用于因果分析。

引出：

  • 1-do算子 — DAG 是 do-calculus 的图形化工具
  • 2-可辨识性 — d-separation 是判断因果效应可辨识性的基础
  • 1-PC算法 — PC 算法利用 d-separation 识别因果骨架

章节摘要

  • DAG 由节点和有序边组成，无环约束使其适合描述因果而非动态
  • 父/子/祖先/后代定义了节点间的基本关系
  • 对撞结构 ：未观测 时阻断，观测 时打开
  • d-separation 是条件独立的图形化判定： 等价于
  • 全局 Markov 假设：每个变量与所有非后代节点条件独立，给定父节点
  • MEC 是共享相同条件独立结构的 DAG 集合，CPDAG 是 MEC 的标准表示

关键词

DAG | 有向无环图 | d-separation | 条件独立 | 对撞结构 |马尔可夫等价类 | CPDAG | 全局 Markov 假设

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