1-do算子

do算子

一句话定位：do算子是因果推断的核心操作符号，将”干预（intervention）“形式化为”强制设置变量值”的操作，区分 （条件概率）与 （干预分布）。

前置依赖：

• 理解关联、干预与反事实的层次（1-关联、干预与反事实）
• 理解 DAG 基本结构（3-因果图DAG）

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核心思想

日常语言中”如果…会怎样”有两种含义：

• 观测语言：如果我观察到 ， 通常会是什么（）
• 干预语言：如果我强制让 ， 会变成什么（）

这两种语言在存在混杂时会给出完全不同的答案。do算子将干预语言严格形式化，使得我们可以精确计算”如果强制改变 ， 的分布是什么”这个问题。

关键区分：do算子不是条件概率，即使在数学形式上看起来类似，它们的含义和识别方式完全不同。

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一、形式化定义

1.1 原子干预

对于变量 ，干预 表示：

1. 将变量 的值强制设置为常数
2. 从 DAG 中删除所有指向 的边（即切断所有父节点对 的影响）
3. 其他所有变量的结构方程保持不变

数学表示：

在 SCM 框架下，这相当于将 的结构方程 替换为 。

1.2 干预分布的递归定义

设 对集合 中的所有变量进行干预，则对任意 ：

逐步应用结构方程，直到只剩下被干预变量的常数。

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二、do算子与条件概率的区别

2.1 关键差异

操作	观测（被动）	干预（主动）
的分布	取决于模型（如 的父节点）	固定为点分布
父节点影响	的父节点通过影响 间接影响	的父节点不影响 （边被切断）
数据来源	观测研究	实验或因果假设

2.2 直观理解

考虑：咖啡 高血压 心脏病

如果我们观测到”喝咖啡的人更容易得心脏病”，。

但这是因为咖啡导致了高血压，还是因为喝咖啡的人本身有其他特征（如压力大）？干预 会强制切断所有指向”喝咖啡”的边，让”喝咖啡”成为一个外生变量。此时只有咖啡 高血压这条路径还在，高血压 心脏病的路径也会被高血压的父节点切断影响。

形式化推导：

设原始 DAG：

U → X（U 是未观测混杂，同时影响 X 和 Y）
X → Y

观测分布（条件概率）：

这里 的后验 受 影响，因为 。

干预分布：

这里 的分布是边缘分布，不以 为条件——因为 切断了 这条边。

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三、do-calculus 三条规则

Pearl（1995）提出了 do-calculus 三条规则，用于判断因果效应是否可从观测数据识别。

规则 1（插入/删除观测）

含义：在干预下，如果 与 条件独立，可以从条件中删除 。

判定方法：检查在干预图 （切断所有指向 的边）中， 与 是否 d-分离，给定 和 影响的节点。

规则 2（行动/观测交换）

含义：当 与 在干预下条件独立时，可以将 do() 换成条件 。

判定方法：在 （切断所有从 出发的边）中，检查 与 是否 d-分离。

规则 3（插入/删除干预）

含义：如果 与 条件独立（给定 ），则干预 等于不干预。

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四、识别准则：从 do 到条件概率

4.1 后门准则（Back-Door Criterion）

定义：变量集合 满足后门准则，当且仅当：

1. 阻断了所有 和 之间的非因果路径（后门路径）
2. 不包含 的任何后代

定理：如果 满足后门准则，则：

证明思路：由后门路径定义，所有混杂都在 中被控制。应用条件期望和边缘化即可得到上述等式。

4.2 前门准则（Front-Door Criterion）

当存在中介变量 时，即使存在未观测混杂，前门准则也能识别因果效应。

定义： 满足前门准则，当且仅当：

1. 阻断所有 到 的因果路径（）
2. 不存在未观测的 和 的混杂
3. 所有 到 的混杂都在 到 的非因果路径上被阻断

定理：

4.3 可辨识性的图形判定

一个因果效应 可辨识，当且仅当存在一个算法（基于 do-calculus）可以将 do-表达式转换为纯观测表达式。

布尔迪-劳珀算法（Bongers-Loop）给出了完整的可辨识性判定。

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五、与前后内容的衔接

继承：

• 3-因果图DAG — DAG 是 do-calculus 的图形化基础
• 2-结构因果模型SCM — SCM 提供了 do-calculus 的机制解释

解决：提供了干预的形式化操作，使得”强制改变 “可以被精确计算。

引出：

• 2-可辨识性 — do-calculus 是判断因果效应可辨识性的工具
• 2-前门后门准则 — 前门/后门准则是可辨识性的具体应用
• 3-协变量调整 — 后门准则给出协变量调整公式

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章节摘要

• do算子表示强制将变量 设置为 ，切断所有指向 的边
• 与 本质不同：前者是条件概率，后者是干预分布
• do-calculus 提供三条规则，判断 do-表达式能否转换为观测表达式
• 后门准则：控制满足后门准则的协变量 ，可以识别因果效应
• 前门准则：当存在中介 时，即使存在未观测混杂也可以识别
• 可辨识性：给定 DAG 和 do-calculus，可以判定因果效应是否可从观测数据估计

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关键词

do算子 | 干预分布 | do-calculus | 后门准则 | 前门准则 | 可辨识性 | 原子干预 | vs